基本算法

一、数论算法

1.求两数的最大公约数

function gcd(a,b:integer):integer;
begin
  if b=0 then gcd:=a
  else gcd:=gcd (b,a mod b);
end;

2.求两数的最小公倍数

function lcm(a,b:integer):integer;
begin
  if a<strong> 0 do inc(lcm,a); end;</strong>

3.素数的求法
A.小范围内判断一个数是否为质数:

function prime (n: integer): Boolean;
  var I: integer;
  begin
    for I:=2 to trunc(sqrt(n)) do
    if n mod I=0 then begin
      prime:=false; exit;
    end;
    prime:=true;
  end;

B.判断longint范围内的数是否为素数(包含求50000以内的素数表):

procedure getprime;
  var
    i,j:longint;
    p:array[1..50000] of boolean;
  begin
    fillchar(p,sizeof(p),true);
    p[1]:=false;
    i:=2;
    while i=x then break
      else if x mod pr[i]=0 then exit;
    prime:=true;
  end;{prime}

二、图论算法

1.最小生成树
A.Prim算法:

procedure prim(v0:integer);
  var
    lowcost,closest:array[1..maxn] of integer;
    i,j,k,min:integer;
  begin
    for i:=1 to n do begin
      lowcost[i]:=cost[v0,i];
      closest[i]:=v0;
    end;
    for i:=1 to n-1 do begin
      {寻找离生成树最近的未加入顶点k}
      min:=maxlongint;
      for j:=1 to n do
      if (lowcost[j]0) then begin
        min:=lowcost[j];
        k:=j;
      end;
      lowcost[k]:=0; {将顶点k加入生成树}
      {生成树中增加一条新的边k到closest[k]}
      {修正各点的lowcost和closest值}
      for j:=1 to n do
        if cost[k,j]

B.Kruskal算法:(贪心)
按权值递增顺序删去图中的边,若不形成回路则将此边加入最小生成树。

function find(v:integer):integer; {返回顶点v所在的集合}
  var i:integer;
  begin
    i:=1;
    while (i0 do begin
      i:=find(e[q].v1);j:=find(e[q].v2);
      if i&lt;&gt;j then begin
        inc(tot,e[q].len);
        vset[i]:=vset[i]+vset[j];vset[j]:=[];
        dec(p);
      end;
      inc(q);
    end;
    writeln(tot);
  end;

2.最短路径
A.标号法求解单源点最短路径:

var
  a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
  b:array[1..maxn] of integer; {b[i]指顶点i到源点的最短路径}
  mark:array[1..maxn] of boolean;
procedure bhf;
  var
    best,best_j:integer;
  begin
    fillchar(mark,sizeof(mark),false);
    mark[1]:=true; b[1]:=0;{1为源点}
    repeat
      best:=0;
      for i:=1 to n do
      If mark[i] then {对每一个已计算出最短路径的点}
        for j:=1 to n do
        if (not mark[j]) and (a[i,j]&gt;0) then
        if (best=0) or (b[i]+a[i,j]0 then begin
        b[best_j]:=best;mark[best_j]:=true;
      end;
    until best=0;
  end;{bhf}

B.Floyed算法求解所有顶点对之间的最短路径:

procedure floyed;
  begin
    for I:=1 to n do
      for j:=1 to n do
      if a[I,j]&gt;0 then p[I,j]:=I else p[I,j]:=0; {p[I,j]表示I到j的最短路径上j的前
      驱结点}
        for k:=1 to n do {枚举中间结点}
          for i:=1 to n do
            for j:=1 to n do
              if a[i,k]+a[j,k]

C. Dijkstra 算法:

var
  a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
  b,pre:array[1..maxn] of integer; {pre[i]指最短路径上I的前驱结点}
  mark:array[1..maxn] of boolean;
procedure dijkstra(v0:integer);
  begin
    fillchar(mark,sizeof(mark),false);
    for i:=1 to n do begin
      d[i]:=a[v0,i];
      if d[i]&lt;&gt;0 then pre[i]:=v0 else pre[i]:=0;
    end;
    mark[v0]:=true;
    repeat   {每循环一次加入一个离1集合最近的结点并调整其他结点的参数}
      min:=maxint; u:=0; {u记录离1集合最近的结点}
      for i:=1 to n do
        if (not mark[i]) and (d[i]0 then begin
        mark[u]:=true;
        for i:=1 to n do
         if (not mark[i]) and (a[u,i]+d[u]

3.计算图的传递闭包

Procedure Longlink;
  Var
    T:array[1..maxn,1..maxn] of boolean;
  Begin
    Fillchar(t,sizeof(t),false);
    For k:=1 to n do
      For I:=1 to n do
        For j:=1 to n do T[I,j]:=t[I,j] or (t[I,k] and t[k,j]);
  End;

4.无向图的连通分量
A.深度优先

procedure dfs ( now,color: integer);
  begin
    for i:=1 to n do
      if a[now,i] and c[i]=0 then begin {对结点I染色}
        c[i]:=color;
        dfs(I,color);
      end;
  end;

B 宽度优先(种子染色法)

5.关键路径
几个定义: 顶点1为源点,n为汇点。
a. 顶点事件最早发生时间Ve[j], Ve [j] = max{ Ve [j] + w[I,j] },其中Ve (1) = 0;
b. 顶点事件最晚发生时间 Vl[j], Vl [j] = min{ Vl[j] – w[I,j] },其中 Vl(n) = Ve(n);
c. 边活动最早开始时间 Ee[I], 若边I由表示,则Ee[I] = Ve[j];
d. 边活动最晚开始时间 El[I], 若边I由表示,则El[I] = Vl[k] – w[j,k];
若 Ee[j] = El[j] ,则活动j为关键活动,由关键活动组成的路径为关键路径。
求解方法:
a. 从源点起topsort,判断是否有回路并计算Ve;
b. 从汇点起topsort,求Vl;
c. 算Ee 和 El;

6.拓扑排序
找入度为0的点,删去与其相连的所有边,不断重复这一过程。
例 寻找一数列,其中任意连续p项之和为正,任意q 项之和为负,若不存在则输出NO.

7.回路问题
Euler回路(DFS)
定义:经过图的每条边仅一次的回路。(充要条件:图连同且无奇点)
Hamilton回路
定义:经过图的每个顶点仅一次的回路。
一笔画
充要条件:图连通且奇点个数为0个或2个。

9.判断图中是否有负权回路 Bellman-ford 算法
x[I],y[I],t[I]分别表示第I条边的起点,终点和权。共n个结点和m条边。

procedure bellman-ford
  begin
    for I:=0 to n-1 do d[I]:=+infinitive;
    d[0]:=0;
    for I:=1 to n-1 do
      for j:=1 to m do {枚举每一条边}
        if d[x[j]]+t[j]

10.第n最短路径问题
*第二最短路径:每举最短路径上的每条边,每次删除一条,然后求新图的最短路径,取这些路径中最短的一条即为第二最短路径。
*同理,第n最短路径可在求解第n-1最短路径的基础上求解。

三、背包问题

*部分背包问题可有贪心法求解:计算Pi/Wi
数据结构:
w[i]:第i个背包的重量;
p[i]:第i个背包的价值;

1.0-1背包: 每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次):
A.求最多可放入的重量。
NOIP2001 装箱问题
有一个箱子容量为v(正整数,o≤v≤20000),同时有n个物品(o≤n≤30),每个物品有一个体积 (正整数)。要求从 n 个物品中,任取若千个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。
l 搜索方法

procedure search(k,v:integer); {搜索第k个物品,剩余空间为v}
  var i,j:integer;
  begin
    if v=best then exit; {s[n]为前n个物品的重量和}
    if kw[k] then search(k+1,v-w[k]);
      search(k+1,v);
    end;
  end;

l DP
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志,为布尔型。
实现:将最优化问题转化为判定性问题

f [I, j] = f [ i-1, j-w[i] ] (w[I]&lt;=j
  For I:=1 to n do
    For j:=w[I] to v do F[I,j]:=f[I-1,j-w[I]];
       {优化:当前状态只与前一阶段状态有关,可降至一维。}
  F[0]:=true;
  For I:=1 to n do begin
    F1:=f;
    For j:=w[I] to v do
      If f[j-w[I]] then f1[j]:=true;
    F:=f1;
  End;

B.求可以放入的最大价值。
F[I,j] 为容量为I时取前j个背包所能获得的最大价值。

F [i,j] = max { f [ i – w [ j ], j-1] + p [ j ], f[ i,j-1] }

C.求恰好装满的情况数。
DP:

Procedure update;
  var j,k:integer;
  begin
    c:=a;
    for j:=0 to n do
      if a[j]&gt;0 then
    if j+now

2.可重复背包

A求最多可放入的重量。
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志,为布尔型。
状态转移方程为

f[I,j] = f [ I-1, j – w[I]*k ] (k=1.. j div w[I])

B.求可以放入的最大价值。
USACO 1.2 Score Inflation
进行一次竞赛,总时间T固定,有若干种可选择的题目,每种题目可选入的数量不限,每种题目有一个ti(解答此题所需的时间)和一个si(解答此题所得的分数),现要选择若干题目,使解这些题的总时间在T以内的前提下,所得的总分最大,求最大的得分。
*易想到:

f[i,j] = max { f [i- k*w[j], j-1] + k*p[j] } (0&lt;=k 其中f[i,j]表示容量为i时取前j种背包所能达到的最大值。

*实现:

Begin
  FillChar(f,SizeOf(f),0);
  For i:=1 To M Do
    For j:=1 To N Do
      If i-problem[j].time&gt;=0 Then
      Begin
        t:=problem[j].point+f[i-problem[j].time];
        If t&gt;f[i] Then f[i]:=t;
      End;
  Writeln(f[M]);
End.

C.求恰好装满的情况数。
Ahoi2001 Problem2
求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。
思路一,生成每个质数的系数的排列,在一一测试,这是通法。

procedure try(dep:integer);
  var i,j:integer;
  begin
    cal; {此过程计算当前系数的计算结果,now为结果}
    if now&gt;n then exit; {剪枝}
    if dep=l+1 then begin {生成所有系数}
      cal;
      if now=n then inc(tot);
      exit;
    end;
    for i:=0 to n div pr[dep] do begin
      xs[dep]:=i;
      try(dep+1);
      xs[dep]:=0;
    end;
  end;

思路二,递归搜索效率较高

procedure try(dep,rest:integer);
  var i,j,x:integer;
  begin
    if (rest

思路三:可使用动态规划求解
USACO1.2 money system
V个物品,背包容量为n,求放法总数。
转移方程:

Procedure update;
  var j,k:integer;
  begin
    c:=a;
    for j:=0 to n do
      if a[j]&gt;0 then
        for k:=1 to n div now do
          if j+now*k

四、排序算法

A.快速排序:

procedure qsort(l,r:integer);
  var i,j,mid:integer;
  begin
    i:=l;j:=r; mid:=a[(l+r) div 2]; {将当前序列在中间位置的数定义为中间数}
    repeat
      while a[i]mid do dec(j);{在右半部分寻找比中间数小的数}
      if ij;
    if l

B.插入排序:

思路:当前a[1]..a[i-1]已排好序了,现要插入a[i]使a[1]..a[i]有序。

procedure insert_sort;
  var i,j:integer;
  begin
    for i:=2 to n do begin
      a[0]:=a[i];
      j:=i-1;
      while a[0]

C.选择排序:

procedure sort;
  var i,j,k:integer;
  begin
    for i:=1 to n-1 do 
      for j:=i+1 to n do
        if a[i]&gt;a[j] then swap(a[i],a[j]);
  end;

D. 冒泡排序

procedure bubble_sort;
  var i,j,k:integer;
  begin
    for i:=1 to n-1 do
      for j:=n downto i+1 do
        if a[j]

E.堆排序:

procedure sift(i,m:integer);{调整以i为根的子树成为堆,m为结点总数}
  var k:integer;
  begin
    a[0]:=a[i]; k:=2*i;{在完全二叉树中结点i的左孩子为2*i,右孩子为2*i+1}
    while k

F. 归并排序

{a为序列表,tmp为辅助数组}
procedure merge(var a:listtype; p,q,r:integer);
{将已排序好的子序列a[p..q]与a[q+1..r]合并为有序的tmp[p..r]}
  var
    I,j,t:integer;
    tmp:listtype;
  begin
    t:=p;i:=p;j:=q+1;{t为tmp指针,I,j分别为左右子序列的指针}
    while (tr) or (a[i]r then begin
      q:=(p+r-1) div 2;
      merge_sort (a,p,q);
      merge_sort (a,q+1,r);
      merge (a,p,q,r);
    end;
  end;
 
{main}
begin
  merge_sort(a,1,n);
end.

G.基数排序
思想:对每个元素按从低位到高位对每一位进行一次排序

五、高精度计算

高精度数的定义:

type
  hp=array[1..maxlen] of integer;

1.高精度加法

procedure plus ( a,b:hp; var c:hp);
  var i,len:integer;
  begin
    fillchar(c,sizeof(c),0);
    if a[0]&gt;b[0] then len:=a[0] else len:=b[0];
    for i:=1 to len do begin
      inc(c[i],a[i]+b[i]);
      if c[i]&gt;10 then begin dec(c[i],10); inc(c[i+1]); end; {进位}
    end;
    if c[len+1]&gt;0 then inc(len);
    c[0]:=len;
  end;{plus}

2.高精度减法

procedure substract(a,b:hp;var c:hp);
  var i,len:integer;
  begin
    fillchar(c,sizeof(c),0);
    if a[0]&gt;b[0] then len:=a[0] else len:=b[0];
    for i:=1 to len do begin
      inc(c[i],a[i]-b[i]);
      if c[i]1) and (c[len]=0) do dec(len);
      c[0]:=len;
    end;
  end;

3.高精度乘以低精度

procedure multiply(a:hp;b:longint;var c:hp);
  var i,len:integer;
  begin
    fillchar(c,sizeof(c),0);
    len:=a[0];
    for i:=1 to len do begin
      inc(c[i],a[i]*b);
      inc(c[i+1],(a[i]*b) div 10);
      c[i]:=c[i] mod 10;
    end;
    inc(len);
    while (c[len]&gt;=10) do begin {处理最高位的进位}
      c[len+1]:=c[len] div 10;
      c[len]:=c[len] mod 10;
      inc(len);
    end;
    while (len&gt;1) and (c[len]=0) do dec(len); {若不需进位则调整len}
    c[0]:=len;
  end;{multiply}

4.高精度乘以高精度

procedure high_multiply(a,b:hp; var c:hp}
  var i,j,len:integer;
  begin
    fillchar(c,sizeof(c),0);
    for i:=1 to a[0] do
      for j:=1 to b[0] do begin
        inc(c[i+j-1],a[i]*b[j]);
        inc(c[i+j],c[i+j-1] div 10);
        c[i+j-1]:=c[i+j-1] mod 10;
      end;
    len:=a[0]+b[0]+1;
    while (len&gt;1) and (c[len]=0) do dec(len);
    c[0]:=len;
  end;

5.高精度除以低精度

procedure devide(a:hp;b:longint; var c:hp; var d:longint);
{c:=a div b; d:= a mod b}
var i,len:integer;
  begin
    fillchar(c,sizeof(c),0);
    len:=a[0]; d:=0;
    for i:=len downto 1 do begin
      d:=d*10+a[i];
      c[i]:=d div b;
      d:=d mod b;
    end;
  while (len&gt;1) and (c[len]=0) then dec(len);
  c[0]:=len;
  end;

6.高精度除以高精度

procedure high_devide(a,b:hp; var c,d:hp);
  var
    i,len:integer;
  begin
    fillchar(c,sizeof(c),0);
    fillchar(d,sizeof(d),0);
    len:=a[0];d[0]:=1;
    for i:=len downto 1 do begin
      multiply(d,10,d);
      d[1]:=a[i];
      while(compare(d,b)&gt;=0) do {即d&gt;=b} begin
        Subtract(d,b,d);
        inc(c[i]);
      end;
    end;
    while(len&gt;1)and(c.s[len]=0) do dec(len);
    c.len:=len;
  end;

六、 树的遍历

1.已知前序中序求后序

procedure Solve(pre,mid:string);
  var i:integer;
  begin
    if (pre='''') or (mid='''') then exit;
    i:=pos(pre[1],mid);
    solve(copy(pre,2,i),copy(mid,1,i-1));
    solve(copy(pre,i+1,length(pre)-i),copy(mid,i+1,length(mid)-i));
    post:=post+pre[1]; {加上根,递归结束后post即为后序遍历}
  end;

2.已知中序后序求前序

procedure Solve(mid,post:string);
  var i:integer;
  begin
    if (mid='''') or (post='''') then exit;  
    i:=pos(post[length(post)],mid);
    pre:=pre+post[length(post)]; {加上根,递归结束后pre即为前序遍历}
    solve(copy(mid,1,I-1),copy(post,1,I-1));
    solve(copy(mid,I+1,length(mid)-I),copy(post,I,length(post)-i));
  end;

3.已知前序后序求中序的一种

function ok(s1,s2:string):boolean;
  var i,l:integer; p:boolean;
  begin
    ok:=true;
    l:=length(s1);
    for i:=1 to l do begin
      p:=false;
      for j:=1 to l do
        if s1[i]=s2[j] then p:=true;
      if not p then begin ok:=false;exit;end;
    end;
  end; 
 
procedure solve(pre,post:string);
  var i:integer;
  begin
    if (pre='''') or (post='''') then exit;
    i:=0;
    repeat
      inc(i);
    until ok(copy(pre,2,i),copy(post,1,i));
    solve(copy(pre,2,i),copy(post,1,i));
    midstr:=midstr+pre[1];
    solve(copy(pre,i+2,length(pre)-i-1),copy(post,i+1,length(post)-i-1));
  end;

七 进制转换

1任意正整数进制间的互化
除n取余

2实数任意正整数进制间的互化
乘n取整

3负数进制:
设计一个程序,读入一个十进制数的基数和一个负进制数的基数,并将此十进制数转换为此负 进制下的数:-R∈{-2,-3,-4,….-20}

八 全排列与组合的生成

1.排列的生成:(1..n)

procedure solve(dep:integer);
  var
    i:integer;
  begin
    if dep=n+1 then begin writeln(s);exit; end;
    for i:=1 to n do
      if not used[i] then begin
        s:=s+chr(i+ord(''0''));used[i]:=true;
        solve(dep+1);
        s:=copy(s,1,length(s)-1); used[i]:=false;
      end;
  end;

2.组合的生成(1..n中选取k个数的所有方案)

procedure solve(dep,pre:integer);
  var
    i:integer;
  begin
    if dep=k+1 then begin writeln(s);exit; end;
    for i:=1 to n do
      if (not used[i]) and (i&gt;pre) then begin
        s:=s+chr(i+ord(''0''));used[i]:=true;
        solve(dep+1,i);
        s:=copy(s,1,length(s)-1); used[i]:=false;
      end;
  end;

九.查找算法

1.折半查找

function binsearch(k:keytype):integer;
  var low,hig,mid:integer;
  begin
    low:=1;hig:=n;
    mid:=(low+hig) div 2;
    while (a[mid].key&lt;&gt;k) and (lowk then hig:=mid-1
        else low:=mid+1;
      mid:=(low+hig) div 2;
    end;
    if low&gt;hig then mid:=0;
    binsearch:=mid;
  end;

2.树形查找

二叉排序树:每个结点的值都大于其左子树任一结点的值而小于其右子树任一结点的值。
查找

function treesrh(k:keytype):pointer;
  var q:pointer;
  begin
    q:=root;
    while (q&lt;&gt;nil) and (q^.key&lt;&gt;k) do
      if k

十、贪心

*会议问题
(1) n个活动每个活动有一个开始时间和一个结束时间,任一时刻仅一项活动进行,求满足活动数最多的情况。
解:按每项活动的结束时间进行排序,排在前面的优先满足。
(2)会议室空闲时间最少。
(3)每个客户有一个愿付的租金,求最大利润。
(4)共R间会议室,第i个客户需使用i间会议室,费用相同,求最大利润。

十一、回溯法框架

1. n皇后问题

procedure try(i:byte);
  var j:byte;
  begin
    if i=n+1 then begin print;exit;end;
    for j:=1 to n do
      if a[i] and b[j+i] and c[j-i] then begin
        x[i]:=j;
        a[j]:=false; b[j+i]:=false; c[j-i]:=false;
        try(i+1);
        a[j]:=true; b[i+j]:=true; c[j-i]:=true;
      end;
  end;

2.Hanoi Tower 汉诺塔

h(n)=2*h(n-1)+1
h(1)=1
初始所有铜片都在a柱上

procedure hanoi(n,a,b,c:byte); {将第n块铜片从a柱通过b柱移到c柱上}
  begin
    if n=0 then exit;
    hanoi(n-1,a,c,b); {将上面的n-1块从a柱通过c柱移到b柱上}
    write(n,’moved from’,a,to,c);
    hanoi(n-1,b,a,c);{ 将b上的n-1块从b柱通过a柱移到c柱上
  end;

初始铜片分布在3个柱上,给定目标柱goal
h[1..3,0..n]存放三个柱的状态,now与nowp存最大的不到位的铜片的柱号和编号,h[I,0]存第I个柱上的个数。

Procedure move(k,goal:integer); {将最大不到位的k移到目标柱goal上}
  Begin
    If k=0 then exit;
    For I:=1 to 3 do
      For j:=1 to han[I,0] do
        If h[I,j]=k then begin now:=I;nowp:=j; end; {找到k的位置}
    If now&lt;&gt;goal then begin {若未移到目标}
    Move(k-1,6-now-goal); {剩下的先移到没用的柱上}
    Writeln(k moved from now to goal);
    H[goal,h[goal,0]+1]:=h[now,nowp]; h[now,nowp]:=0;
    Inc(h[goal,0]); dec(h[now,0]);
    Move(k-1,goal); {剩下的移到目标上}
  End;

十二、DFS框架

NOIP2001 数的划分

procedure work(dep,pre,s:longint); {入口为work(1,1,n)}
{dep为当前试放的第dep个数,pre为前一次试放的数,s为当前剩余可分的总数}
  var j:longint;
  begin 
    if dep=n then begin
      if s&gt;=pre then inc(r); exit; 
    end; 
    for j:=pre to s div 2 do work(dep+1,j,s-j); 
  end;

类似:

procedure try(dep:integer);
  var i:integer;
  begin
    if dep=k then begin
      if tot&gt;=a[dep-1] then inc(sum);
      exit;
    end;
    for i:=a[dep-1] to tot div 2 do begin
      a[dep]:=i; dec(tot,i); 
      try(dep+1);
      inc(tot,i);
    end;
  end;{try}

十三、BFS框架

IOI94 房间问题

head:=1; tail:=0;
while tail<head do begin
  inc(tail);
  for k:=1 to n do
    if k方向可扩展 then begin
      inc(head);
      list[head].x:=list[tail].x+dx[k]; {扩展出新结点list[head]}
      list[head].y:=list[tail].y+dy[k];
      处理新结点list[head];
    end;
  end;

十五、数据结构相关算法

1.链表的定位函数

loc(I:integer):pointer; {寻找链表中的第I个结点的指针}
procedure loc(L:linklist; I:integer):pointer;
  var
    p:pointer;
    j:integer;
  begin
    p:=L.head; j:=0;
    if (I&gt;=1) and (I

2.单链表的插入操作

procedure insert(L:linklist; I:integer; x:datatype);
  var p,q:pointer;
  begin
    p:=loc(L,I);
    new(q);
    q^.data:=x;
    q^.next:=p^.next;
    p^.next:=q;
    inc(L.len);
  end;

3.单链表的删除操作

procedure delete(L:linklist; I:integer);
  var p,q:pointer;
  begin
    p:=loc(L,I-1);
    q:=p^.next;
    p^.next:=q^.next;
    dispose(q);
    dec(L.len);
  end;

4.双链表的插入操作(插入新结点q)

p:=loc(L,I);
new(q);
q^.data:=x;
q^.pre:=p;
q^.next:=p^.next;
p^.next:=q;
q^.next^.pre:=q;

5.双链表的删除操作

p:=loc(L,I); {p为要删除的结点}
p^.pre^.next:=p^.next;
p^.next^.pre:=p^.pre;
dispose(p);

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